# log-likelihood-gradients

# Ableitung der Log-Likelihood

\[L(\pmb\theta) = \underbrace{k\ln(2\pi)}_{1} + \underbrace{\ln(|\pmb\Sigma(\pmb\theta)|)}_{2} + \underbrace{(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))}_{3}\]

Wir wollen nach \(\pmb \theta\) ableiten.

## Element 1

Es gilt \(\frac{\partial}{\partial \theta_j} k\ln(2\pi)= 0\)

## Element 2

Es gilt:

\[\frac{\partial}{\partial \theta_j}\ln(|\pmb\Sigma(\pmb\theta)|) = \frac{1}{|\pmb\Sigma(\pmb\theta)|}\frac{\partial}{\partial \theta_j}|\pmb\Sigma(\pmb\theta)|\]

Jacobis Formel:

\[\frac{\partial}{\partial \theta_j}|\pmb\Sigma(\pmb\theta)| = |\pmb\Sigma(\pmb\theta)|tr(\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}\frac{\partial}{\partial \theta_j}\pmb\Sigma(\pmb\theta))\] und somit:

\[\frac{\partial}{\partial \theta_j}\ln(|\pmb\Sigma(\pmb\theta)|) = \frac{1}{|\pmb\Sigma(\pmb\theta)|}|\pmb\Sigma(\pmb\theta)|tr(\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}\frac{\partial}{\partial \theta_j}\pmb\Sigma(\pmb\theta)) = tr(\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}\frac{\partial}{\partial \theta_j}\pmb\Sigma(\pmb\theta))\]

Wir brauchen also die Ableitung der modell-implizierten Kovarianzmatrix nach den Parametern: \(\frac{\partial}{\partial \theta_j}\pmb\Sigma(\pmb\theta)\). Dabei gilt: \(\pmb\Sigma(\pmb\theta) = \pmb F (\pmb I - \pmb A)^{-1} \pmb S ((\pmb I - \pmb A)^{-1})^T \pmb F^T\).

### Fall 1: Der Parameter \(\theta_j\) ist in \(\pmb S\).

Dann gilt: Außer \(\pmb S\) kann alles andere als Konstante behandelt werden. Es folgt:

\[\frac{\partial}{\partial \theta_j}\pmb\Sigma(\pmb\theta) = \pmb F (\pmb I - \pmb A)^{-1} \frac{\partial}{\partial \theta_j}\pmb S ((\pmb I - \pmb A)^{-1})^T \pmb F^T\] wobei \(\frac{\partial}{\partial \theta_j}\pmb S\) eine sparse Matrix mit einsen an den Stellen ist, an denen \(\theta_j\) vorkommt.

Zusammenfassung:

\[\frac{\partial}{\partial \theta_j}\ln(|\pmb\Sigma(\pmb\theta)|) = tr(\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}\pmb F (\pmb I - \pmb A)^{-1} \frac{\partial}{\partial \theta_j}\pmb S ((\pmb I - \pmb A)^{-1})^T \pmb F^T)\]

Achtung: Wenn die Person Missings hat, kann man die Matrix \(\pmb F\) so anpassen, dass die entsprechenden Zeilen und Spalten herausfallen.

### Fall 2: Der Parameter \(\theta_j\) ist in \(\pmb A\).

Dann gilt: Außer \(\pmb A\) kann alles andere als Konstante behandelt werden. Zudem gilt: \(\frac{\partial}{\partial a_i}\pmb A^{-1} = \pmb A^{-1}\frac{\partial \pmb A}{\partial a_i} \pmb A^{-1}\) (https://math.stackexchange.com/questions/4074265/derivative-involving-inverse-matrix?noredirect=1&lq=1). Es folgt:

\[\frac{\partial}{\partial \theta_j}\pmb\Sigma(\pmb\theta) = \pmb F[(\pmb I - \pmb A)^{-1} \frac{\partial\pmb A}{\partial \theta_j}(\pmb I - \pmb A)^{-1}][\pmb S ((\pmb I - \pmb A)^{-1})^T \pmb F^T] + \pmb F(\pmb I - \pmb A)^{-1} \pmb S[(\pmb I - \pmb A)^{-1} \frac{\partial\pmb A}{\partial \theta_j}(\pmb I - \pmb A)^{-1}]^T\pmb F^T\]

Zusammenfassung:

\[\frac{\partial}{\partial \theta_j}\ln(|\pmb\Sigma(\pmb\theta)|) = tr(\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}[\pmb F[(\pmb I - \pmb A)^{-1} \frac{\partial\pmb A}{\partial \theta_j}(\pmb I - \pmb A)^{-1}][\pmb S ((\pmb I - \pmb A)^{-1})^T \pmb F^T] + \pmb F(\pmb I - \pmb A)^{-1} \pmb S[(\pmb I - \pmb A)^{-1} \frac{\partial\pmb A}{\partial \theta_j}(\pmb I - \pmb A)^{-1}]^T\pmb F^T])\]

### Fall 3: Der Parameter \(\theta_j\) ist in \(\pmb m\), wobei \(\pmb m\) die Mittelwertstruktur des SEM ist.

Dann gilt: Die Ableitung ist \(0\).

Hinweis: Element 2 ist unabhängig vom Datensatz!

## Element 3

\[\frac{\partial}{\partial \theta_j}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))\]

Es gilt:

\[\begin{aligned} &\frac{\partial}{\partial \theta_j}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))\\ =& [\frac{\partial}{\partial \theta_j}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T]\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta)) + (\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T\frac{\partial}{\partial \theta_j}[\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))] \\ =& [\frac{\partial}{\partial \theta_j}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T]\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta)) + (\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T[\frac{\partial}{\partial \theta_j}\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}](\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta)) + (\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}\frac{\partial}{\partial \theta_j}[(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))] \end{aligned}\]

mit \(\pmb\mu (\pmb\theta) = \pmb F(\pmb I - \pmb A)^{-1}\pmb m\) wobei \(\pmb m\) die Mittelwertstruktur des SEMs ist.

### Fall 1: Der Parameter \(\theta_j\) ist in \(\pmb S\).

Dann gilt: Außer \(\pmb S\) kann alles andere als Konstante behandelt werden. Es folgt: \([\frac{\partial}{\partial \theta_j}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T] = 0\) und somit

\[\begin{aligned} &[\frac{\partial}{\partial \theta_j}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T]\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta)) + (\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T[\frac{\partial}{\partial \theta_j}\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}](\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta)) + (\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}\frac{\partial}{\partial \theta_j}[(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))] \\ =&(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T[\frac{\partial}{\partial \theta_j}\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}](\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta)) \end{aligned}\]

Es gilt (https://math.stackexchange.com/questions/4074265/derivative-involving-inverse-matrix?noredirect=1&lq=1): \[\frac{\partial}{\partial \theta_j} \pmb \Sigma(\pmb\theta)^{-1} = -\pmb \Sigma(\pmb\theta)^{-1}\frac{\partial}{\partial \theta_j}\pmb \Sigma(\pmb\theta)\Sigma(\pmb\theta)^{-1}\] und somit:

\[\begin{aligned} &\frac{\partial}{\partial \theta_j}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))\\ =&(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T[\frac{\partial}{\partial \theta_j}\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}](\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))\\ =& (\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T[-\pmb \Sigma(\pmb\theta)^{-1}\frac{\partial}{\partial \theta_j}\pmb \Sigma(\pmb\theta)\Sigma(\pmb\theta)^{-1}](\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))\\ =& (\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T[-\pmb \Sigma(\pmb\theta)^{-1}\pmb F (\pmb I - \pmb A)^{-1} \frac{\partial}{\partial \theta_j}\pmb S ((\pmb I - \pmb A)^{-1})^T \pmb F^T\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}](\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))\\ \end{aligned}\]

Hinweis: Der letzte Schritt wurde bei Element 2 besprochen.

### Fall 2: Der Parameter \(\theta_j\) ist in \(\pmb A\).

\(\pmb A\) findet sich auch in der Mittelwertstruktur wieder. Hier gilt

\[\begin{aligned} &\frac{\partial}{\partial \theta_j}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))\\ =& [\frac{\partial}{\partial \theta_j}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T]\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta)) + (\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T[\frac{\partial}{\partial \theta_j}\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}](\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta)) + (\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}\frac{\partial}{\partial \theta_j}[(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))] \end{aligned}\]

mit \([\frac{\partial}{\partial \theta_j}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))] = [- \frac{\partial}{\partial \theta_j}\pmb \mu(\pmb\theta))] = -\frac{\partial}{\partial \theta_j}\pmb F(\pmb I - \pmb A)^{-1}\pmb m = -\pmb F(\pmb I - \pmb A)^{-1}\frac{\partial (\pmb I - \pmb A)}{\partial \theta_j}(\pmb I - \pmb A)^{-1}\pmb m\)

Es folgt: \[\begin{aligned} &\frac{\partial}{\partial \theta_j}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))\\ =& 2*[-\pmb F(\pmb I - \pmb A)^{-1}\frac{\partial (\pmb I - \pmb A)}{\partial \theta_j}(\pmb I - \pmb A)^{-1}\pmb m]^T\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta)) + (\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T[\frac{\partial}{\partial \theta_j}\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}](\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))\\ =& 2*[-\pmb F(\pmb I - \pmb A)^{-1}\frac{\partial (\pmb I - \pmb A)}{\partial \theta_j}(\pmb I - \pmb A)^{-1}\pmb m]^T\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta)) \\ &+ (\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T[-\pmb \Sigma(\pmb\theta)^{-1}[\pmb F[(\pmb I - \pmb A)^{-1} \frac{\partial\pmb A}{\partial \theta_j}(\pmb I - \pmb A)^{-1}][\pmb S ((\pmb I - \pmb A)^{-1})^T \pmb F^T] \\ &+ \pmb F(\pmb I - \pmb A)^{-1} \pmb S[(\pmb I - \pmb A)^{-1} \frac{\partial\pmb A}{\partial \theta_j}(\pmb I - \pmb A)^{-1}]^T\pmb F^T]\pmb \Sigma(\pmb\theta)^{-1}](\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))\\ \end{aligned}\]

Hinweis: Der letzte Schritt wurde bei Element 3 besprochen.

### Fall 3: Der Parameter \(\theta_j\) ist in \(\pmb m\).

Dann gilt: Außer \(\pmb\mu (\pmb\theta) = \pmb F(\pmb I - \pmb A)^{-1}\pmb m\) kann alles andere als Konstante behandelt werden.

\[\begin{aligned} &\frac{\partial}{\partial \theta_j}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))\\ =& [\frac{\partial}{\partial \theta_j}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T]\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta)) + (\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T\frac{\partial}{\partial \theta_j}[\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))] \\ =& [\frac{\partial}{\partial \theta_j}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T]\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta)) + (\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}\frac{\partial}{\partial \theta_j}[(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))] \\ =& (-\pmb F(\pmb I - \pmb A)^{-1}\pmb e)^T\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta)) + (\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta))^T\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}(-\pmb F(\pmb I - \pmb A)^{-1}\pmb e)\\ =& 2*(- \pmb F(\pmb I - \pmb A)^{-1}\pmb e)^T\pmb\Sigma(\pmb\theta)^{-1}(\pmb x - \pmb \mu(\pmb\theta)) \end{aligned}\] wobei \(\pmb e = \begin{bmatrix} 0 & 0 & ... & 1 & ... &0\end{bmatrix}^T\) ein Vektor ist, der eine eins an der Stelle hat, an der \(\theta_j\) in \(\pmb m\) sitzt.